2개의 앙각에 따른 높이와 거리 | 해결된 문제 (2023)

높이와 거리에 대한 다양한 유형의 문제를 두 가지 앙각으로 해결할 것입니다.

두 가지 앙각에 대해 또 다른 유형의 사례가 발생합니다.

주어진 그림에서

PQ는 'y' 단위의 극 높이입니다.

QR은 QR = 'x'단위로 극의 발과 관찰자 점 중 하나 사이의 거리 중 하나입니다.

QS는 QR = 'z + x' 단위로 극의 발과 다른 관찰자의 지점 사이의 또 다른 거리입니다.

PR은 'a'단위의 시선 중 하나이고 PS는 'h'단위의 시선입니다.

'θ'는 시선이 PR인 앙각 중 하나이고, 'α'는 시선이 PS인 앙각이다.

이제 삼각함수의 공식은,

죄 θ = \(\frac{y}{a}\); cosec θ =\(\frac{a}{y}\)

cos θ = \(\frac{x}{h}\); 초 θ =\(\frac{h}{x}\)

tan θ = \(\frac{y}{x}\); cot θ = \(\frac{x}{y}\).

죄 α = \(\frac{y}{h}\); 코섹 α =\(\frac{h}{y}\)

cos α =\(\frac{z + x}{h}\); 초 α =\(\frac{h}{z + x}\)

tan α =\(\frac{y}{z + x}\); cot α =\(\frac{z + x}{y}\)

두 가지 높이 각도에 대한 또 다른 유사한 유형의 경우는 두 사람이 두 개의 반대쪽에서 동일한 타워를 보고 있는 경우입니다.

PQ를 길이 'y' 단위의 탑이라고 합니다.

RQ는 탑의 발과 관찰자의 'x' 단위 위치 중 하나 사이의 거리입니다.

QS는 타워의 발과 다른 관찰자의 'z' 단위 위치 사이의 거리입니다.

PR은 'h' 단위의 시선 중 하나입니다.

PS는 'l' 단위의 시선입니다.

그런 다음 삼각법에 따라

죄 θ = \(\frac{PQ}{PR}\)= \(\frac{y}{h}\); 코섹 θ = \(\frac{PR}{PQ}\)=\(\frac{h}{y}\)

cos θ = \(\frac{QR}{PR}\)= \(\frac{x}{h}\); 초 θ = \(\frac{PR}{QR}\)=\(\frac{h}{x}\)

tan θ = \(\frac{PQ}{QR}\)= \(\frac{y}{x}\); cot θ = \(\frac{QR}{PQ}\)=\(\frac{x}{y}\)

죄 α = \(\frac{PQ}{PS}\)= \(\frac{y}{l}\); 코섹 α = \(\frac{PS}{PQ}\)=\(\frac{l}{y}\)

cos α =\(\frac{QS}{PS}\) = \(\frac{z}{l}\); 초 α =\(\frac{PS}{QS}\) =\(\frac{l}{z}\)

tan α = \(\frac{PQ}{PS}\)= \(\frac{y}{z}\); cot α = \(\frac{PS}{PQ}\)= \(\frac{z}{y}\).

이제 위에서 설명한 개념을 기반으로 몇 가지 예제를 해결해 보겠습니다.

1.합의 앙각이 34° 50'에서 60° 50'로 증가하면 탑의 그림자 길이는 60미터 줄어듭니다. 탑의 높이를 찾으십시오.

해결책:

MN을 높이 hm의 탑이라고 하자.

MN의 그림자는 태양의 앙각이 ∠MXN = 34° 50'일 때 NX입니다.

MN의 그림자는 태양의 앙각이 ∠MYN = 60° 50'일 때 NY입니다.

그림자 길이 감소 = XY = 60m라고 가정합니다.

직각 삼각형 MXN에서,

\(\frac{h}{XN}\) = 황갈색 34° 50'

에서 tan 34° 50'의 값을 찾아봅시다.자연 접선의 삼각법 테이블.

tan 34° 50'의 값을 찾으려면 맨 왼쪽 열을 보십시오. 위에서부터 시작하여 34가 될 때까지 아래로 이동합니다.

이제 34행에서 오른쪽으로 이동하여 48′ 열에 도달합니다.

우리는 6950, 즉 0.6950을 찾습니다.

따라서 황갈색 34° 50′ = 0.6950 + 2′에 대한 평균 차이

= 0.6950

+ 9[추가, 황갈색 34° 50′ > 황갈색 34° 48′이기 때문에]

0.6959

따라서 tan 34° 50′ = 0.6959입니다.

따라서 \(\frac{h}{XN}\) = 0.6959입니다.

⟹ XN = \(\frac{h}{0.6959}\) ................................... (나)

다시, 직각삼각형 MYN으로부터,

\(\frac{h}{YN}\) = 황갈색 60° 50'

에서 tan 60° 50'의 값을 구해 봅시다.자연 접선의 삼각법 테이블.

tan 60° 50'의 값을 찾으려면 맨 왼쪽 열을 보십시오. 위에서부터 시작하여 60이 될 때까지 아래로 이동합니다.

이제 60행에서 오른쪽으로 이동하여 48′ 열에 도달합니다.

우리는 7893, 즉 0.7893을 찾습니다.

따라서 황갈색 60° 50′ = 0.7893 + 2′에 대한 평균 차이

= 0.7893

+ 24[추가, 황갈색 60° 50′ > 황갈색 60° 48′이기 때문에]

0.7917

따라서 tan 60° 50′ = 0.7917입니다.

따라서 \(\frac{h}{YN}\) = 0.7917입니다.

⟹ IN = \(\frac{h}{0.7917}\) ................................... (ii)

이제 (i)에서 (ii)를 빼면,

XN - YN = \(\frac{h}{0.6959}\) - \(\frac{h}{0.7917}\)

⟹ XY = h(\(\frac{1}{0.6959}\) - \(\frac{1}{0.7917}\))

⟹ 60 = h(\(\frac{1}{0.7}\) - \(\frac{1}{0.8}\)), [대략]

⟹ 60 = h ∙ \(\frac{1.1}{0.7 × 0.8}\)

⟹ h = \(\frac{60 × 0.7 × 0.8}{1.1}\)

⟹ h = 68.73.

따라서 탑의 높이는 약 68.73m입니다.

2.높이 20m의 탑에서 왼쪽으로 10m 떨어진 곳에 한 남자가 서 있다. 남자가 탑의 가장 높은 지점을 바라볼 때 앙각을 구하십시오. 같은 쪽 탑의 발치에서 40m 떨어진 곳에 또 다른 남자가 서 있다. 이 경우 앙각을 찾으십시오.

해결책:

문제는 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

문제에서, 우리는 주어진,

타워 높이, PQ = y = 20m

타워의 발과 관찰자 중 한 사람의 거리, QR = x = 10m

탑의 발과 다른 관찰자 사이의 거리, QS = z = 40m.

우리는 다음을 알고 있습니다.

tan θ = \(\frac{y}{x}\)

⟹ tan θ = \(\frac{20}{10}\)

⟹ tan θ = 2

⟹ θ = tan-1 (2)

⟹ θ = 63.43°.

또한 우리는 다음을 알고 있습니다.

탄 α = \(\frac{y}{z + x}\)

⟹ tan α = \(\frac{20}{40}\)

⟹ tan α = \(\frac{2}{4}\)

⟹ 황갈색 α = ½

⟹ α = 황갈색^-1(\(\frac{1}{2}\))

⟹ α = 26.56°

삼.관찰자가 높이 30m의 탑 앞에 서 있고 관찰자의 눈이 이루는 앙각은 56°이다. 또 다른 관찰자는 탑의 반대편에 서 있고 이 경우 앙각은 60°입니다. 그런 다음 다음을 찾으십시오.

(i) 탑의 바닥과 첫 번째 관찰자 사이의 거리.

(ii) 탑의 발과 두 번째 관찰자 사이의 거리.

해결책:

주어진 문제는 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

주어진 문제에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

타워 높이, PQ = y = 30m

첫 번째 관찰자의 앙각, θ = 56°

두 번째 관찰자의 앙각, α = 60°

삼각 방정식에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

tan θ = \(\frac{PQ}{QR}\) = \(\frac{y}{x}\)

⟹ tan θ = \(\frac{PQ}{QR}\) = \(\frac{30}{x}\).

⟹ tan θ = \(\frac{30}{x}\)

⟹ 황갈색(56°) = \(\frac{30}{x}\)

⟹ 1.48 = \(\frac{30}{x}\)

⟹ x = \(\frac{30}{1.48}\)

⟹ x = 20.27

따라서 타워 바닥과 첫 번째 관찰자 사이의 거리 = 20.27m.

또한 우리는 그것을 압니다.

tan α = \(\frac{PQ}{PS}\) = \(\frac{y}{z}\)

⟹ tan α = \(\frac{30}{z}\)

⟹ 탄 (60°) = \(\frac{30}{z}\)

⟹ 1.732 = \(\frac{30}{z}\)

⟹ z = \(\frac{30}{1.732}\)

⟹ z = 17.32

따라서 타워 바닥과 두 번째 관찰자 사이의 거리는 17.32m입니다.

4.두 수직 기둥 사이의 거리는 60m입니다. 기둥 중 하나의 높이는 다른 기둥 높이의 두 배입니다. 발을 연결하는 선분의 ​​중간 지점에서 기둥 상단의 앙각은 서로 보완적입니다. 기둥의 높이를 찾으십시오.

해결책:

MN과 XY를 두 개의 극으로 설정합니다.

XY = h라고 하자.

따라서 문제 MN = 2h에 따르면. T는 NY의 중심점이며 NY = 60m입니다.

따라서 NT = TY = 30m입니다.

∠XTY =θ이면 질문에서 ∠MTN = 90° - θ입니다.

직각∆XYT에서,

tan θ =\(\frac{XY}{TY}\) = \(\frac{h}{30m}\).

따라서 h = 30∙ tan θ m .................... (i)

직각 ΔMNT에서,

tan (90° - θ) = \(\frac{MN}{NT}\) = \(\frac{2h}{30m}\).

따라서 cot θ = \(\frac{2h}{30m}\)입니다.

⟹ h = 15 ∙ 코트 θ m ........................... (ii)

(i)와 (ii)를 곱하면,

h^2 = (30∙ tan θ× 15 ∙ cot θ) m^2

⟹ h^2 = 450m^2

⟹ h = \(\sqrt{450}\) m

⟹ h = 21.21m(약)

따라서 기둥의 높이는 약 21.21m, 약 42.42m입니다.

10학년 수학

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