이 주제에서 우리는 주변 생활에서 삼각법이 사용되는 몇 가지 방법을 연구할 것입니다.
삼각법은 전 세계 학자들이 연구한 가장 오래된 과목 중 하나입니다. 삼각법이 필요했기 때문에 발명되었습니다.천문학. 그 이후로 천문학자들은 예를 들어 지구에서 행성과 별까지의 거리를 계산하기 위해 그것을 사용했습니다. 삼각법은 다음에서도 사용됩니다.지리학그리고 안으로항해.
삼각법에 대한 지식은 구조물의 높이를 찾고, 지도를 구성하고, 경도와 위도를 기준으로 섬의 위치를 결정하는 데 사용됩니다.
높이와 거리를 다룰 때 사용되는 가장 중요한 정의는 다음과 같습니다.
시선:관찰자의 눈에서 관찰자가 보는 물체의 한 점까지 그은 선입니다.
여기서 고양이는 관찰자이고 개체는 새입니다.
앙각:높은 물체에 관찰 지점을 연결하는 수평선과 시선 사이의 각도.
다음 그림에서 점 \(A\)에서 연의 앙각은 \({30^\circ}\)이고 점 \(B\)에서 \({60^\circ }\ )
우울증의 각도:수평면 아래에 있는 물체에 관찰 지점을 연결하는 수평선과 시선 사이의 각도.
다음 그림에서 건물의 꼭대기가 우리의 관찰 지점이라면 사람 \(X\)의 내림각은 \({45^\circ}\)이고 사람 \(Y\)의 내림각은 \({60^\circ }\).
이제 삼각법이 실제 상황에 어떻게 적용되는지 살펴보겠습니다.
삼각비를 사용하여 높이와 거리를 찾을 수 있습니다. 몇 가지 유용한 관계는 높이와 거리를 결정하는 데 도움이 되는 아래의 다이어그램으로 설명됩니다.
도전적인 질문
다층 건물의 꼭대기에서 \(8\, yd\) 고층 건물의 상단과 하단의 우하각은 \(30^\circ \)와 \(45^\circ \)이고, 각기. 다층 건물의 높이와 두 건물 사이의 거리를 구하십시오.
힌트: 주어진 상황에 따라 그림을 그려보세요.
높이와 거리를 찾는 방법?
다양한 물체의 높이와 거리를 측정하기 위해 삼각비를 사용합니다.
접선 규칙을 사용하여 나무의 높이(눈높이 위)를 계산합니다.
tan(각도) = 맞은편/인접한
반대는 나무의 높이이고 인접은 당신과 나무 사이의 거리입니다.
이는 다음과 같이 재배열됩니다.
반대쪽 = tan(각도) x 인접
또는 더 간단하게
\[\text{높이} = \text{탄(각도)} \times\text{거리}\]
거리는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\(\text{B (거리)} = \dfrac {\text{A (높이)}} {\text{tan (e)}}\)
따라서 \(B\)(거리)를 계산하려면 \(A\)(높이) 값과 각도 \(e\)가 필요합니다.
중요 사항
1. 수평면 아래에 있는 물체와 관측점을 연결하는 수평선과 시선 사이의 각도를 앙각이라고 합니다.
2. 수평면 아래에 있는 물체와 관측점을 연결하는 수평선과 시선 사이의 각도를 내림각이라고 합니다.
3. \(\text{B (거리)} = \dfrac {\text{A (높이)}} {\text{tan (e)}}\)
삼각 비율 표
0°, 30°, 45°, 60°, 90°와 같은 표준 각도에 대한 삼각함수 값은 삼각비 표를 사용하여 쉽게 찾을 수 있습니다.
이 표는 사인, 코사인, 탄젠트, 코시컨트, 시컨트 및 코탄젠트와 같은 삼각법 비율로 구성됩니다.
요컨대 이러한 비율은 sin, cos, tan, cosec, sec 및 cot로 표시됩니다.
이러한 표준 각도의 삼각비 값을 기억하는 것이 가장 좋습니다.
삼각법 테이블은 과학 및 공학과 같은 분야에서 광범위하게 적용됩니다.
해결 예
예 1
건물에서 일정한 거리에 사람이 서 있을 때 그 꼭대기의 앙각이 \({60^\circ }\)임을 관찰하십시오. 그는 건물에서 30야드 떨어진 곳으로 걸어갑니다. 이제 건물 상단의 앙각은 \({30^\circ}\)입니다. 건물은 얼마나 높습니까?
해결책
건물의 높이는 \(h\)이고 \(d\)는 사람과 건물 사이의 원래 거리입니다. 다음 그림은 주어진 상황을 보여줍니다.
우리는:
\[\시작{정렬}
\tan {60^\circ } &= \sqrt 3 \hfill \\
\오른쪽 화살표 \frac{h}{d} &= \sqrt 3 \hfill \\
\오른쪽 화살표 d &= \frac{h}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
\끝{정렬} \]
또한,
\[\시작{정렬}
\tan {30^\circ } &= \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
\오른쪽 화살표 \frac{h}{{d + 30}} &= \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
\오른쪽 화살표 \sqrt 3 h &= d + 30 \hfill \\
\오른쪽 화살표 \sqrt 3 h &= \frac{h}{{\sqrt 3 }} + 30 \hfill \\
\오른쪽 화살표 h\left( {\sqrt 3 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) &= 30 \hfill \\
\끝{정렬} \]
\[\오른쪽 화살표 h = 15\sqrt 3 yd \approx 26\;yd\]
\(\그러므로\)건물의 높이는 약 26야드입니다.
예 2
지면의 특정 지점에서 나무 꼭대기의 앙각은 \(\alpha \)입니다. \(p\) 미터를 나무 쪽으로 이동하면 앙각은 \(\beta \) 이 됩니다. 탑의 높이가 임을 보여라.
\[h = \left( {\frac{{p\tan \alpha \tan \beta }}{{\tan \beta - \tan \alpha }}} \right)\;미터\]
해결책
이 상황을 설명하는 다음 그림을 관찰하십시오.
여기서 \(d\) 및 \(h\)는 알 수 없으며 \(h\)를 찾아야 합니다.
\[\tan \beta = \frac{h}{d} \Rightarrow d = h\cot \beta \]
이제, 우리는
\[\시작{정렬}
\tan \alpha &= \frac{h}{{p + d}} \hfill \\
\오른쪽 화살표 h &= (p + d)\tan \alpha \hfill \\
&= (p + h\cot \beta )\tan \alpha \hfill \\
&= p\tan \alpha + h\tan \alpha \cot \beta \hfill \\
\오른쪽 화살표 h\left( {1 - \tan \alpha \cot \beta } \right) &= p\tan \alpha \hfill \\
\오른쪽 화살표 h &= \frac{{p\tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha \cot \beta }} \hfill \\
&= \frac{{p\tan \alpha }}{{1 - \frac{{\tan \alpha }}{{\tan \beta }}}} \hfill \\
\끝{정렬} \]
\[h = \dfrac{p\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta - \tan \alpha }\]
\(\그러므로\)\(h = \dfrac{p\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta - \tan \alpha }\)
예 3
집에는 지상에서 \(h\)야드 떨어진 창문이 있습니다. 이 집 길 건너편에 높은 기둥이 있습니다. 창에서 이 기둥의 상단과 하단의 상승 및 하강 각도는 각각 \(\theta \) 및 \(\varphi \)입니다. 기둥의 높이를 결정하십시오.
해결책
다음 그림은 주어진 상황을 보여줍니다.
\(d = h\cot \varphi \) 및
\[{h_1} = d\tan \theta = h\tan \theta \cot \varphi \]
따라서 기둥의 높이는,
\[\시작{수집}
H = h + {h_1} \hfill \\
\오른쪽 화살표 H = h(1 + \tan \theta \cot \light )\hfill \\
\end{수집} \]
\(\그러므로\) 극의 높이는 \(= h(1 + \tan \theta \cot \varphi ) \)
예 4
전망대에서 반대편에 있는 두 대의 자동차의 내림각은 \(\alpha \)와 \(\beta \)입니다. 타워의 높이가 \(h\)야드이면 자동차 사이의 거리를 구하십시오.
해결책
다음 그림을 관찰하십시오.
우리는,
\[d_1 = h\cot \alpha, \quad d_2 =h\cot \beta\]
따라서 자동차 사이의 거리는,
\[D = {d_1} + {d_2} = h\left( {\cot \alpha + \cot \beta } \right)\,yd\]
\(\그러므로\) 자동차 사이의 거리는\(= h\left( {\cot \alpha + \cot \beta } \right)\,yd\)
나대화식 질문
연습할 수 있는 몇 가지 활동이 있습니다. 답변을 선택/입력하고 "답안 확인" 버튼을 클릭하면 결과를 볼 수 있습니다.
요약하자
이 미니 수업은 높이와 거리에 대한 매력적인 개념을 목표로 했습니다. 높이와 거리를 둘러싼 수학 여행은 학생이 이미 알고 있는 것에서 시작하여 어린 마음에 새로운 개념을 창의적으로 만들어 갑니다. 공감할 수 있고 이해하기 쉬울 뿐만 아니라 영원히 기억될 것입니다. 여기에 Cuemat의 마법이 있습니다.
큐매스 소개
~에큐매스, 우리의 수학 전문가 팀은 우리가 가장 좋아하는 독자인 학생들을 위해 학습을 재미있게 만드는 데 전념하고 있습니다!
대화식의 매력적인 학습-교수-학습 접근 방식을 통해 교사는 주제의 모든 각도를 탐구합니다.
문제, 온라인 수업, 의심 세션 또는 다른 형태의 관계가 되더라도 Cuemat에서 믿는 것은 논리적 사고와 스마트 학습 접근 방식입니다.
자주 묻는 질문
1. 삼각법에서 거리를 어떻게 구합니까?
\(\text{B (거리)} = \dfrac {\text{A (높이)}} {\text{tan (e)}}\)
따라서 \(B\)(거리)를 계산하려면 \(A\)(높이) 값과 각도 \(e\)가 필요합니다.
2. 삼각법에서 내림각이란 무엇입니까?
사람이 서서 물체를 내려다볼 때 내림각은 수평선과 물체 사이의 각도입니다.
3. 내각의 공식은 무엇입니까?
사람이 서서 물체를 내려다볼 때 내림각은 수평선과 물체 사이의 각도입니다.
4. 앙각은 하강과 같습니까?
다른 위치에 대한 한 위치의 앙각은 항상 두 번째 위치에 대한 첫 번째 위치의 하강 각도와 일치합니다(측정이 동일함).
5. 삼각법의 시야각은 무엇입니까?
관찰자에게 보이는 물체의 앙각은 수평선과 물체에서 관찰자의 눈까지의 선(시선) 사이의 각도입니다.
6. 높이와 거리의 관계는 무엇입니까?
삼각법을 사용하여 측면 또는 각도가 될 수 있는 두 가지 수량 중 하나가 제공되면 나머지 수량을 모두 계산할 수 있습니다. 교번각의 법칙에 따라 앙각과 하강각은 결과적으로 크기가 같습니다(α = β). Tan α는 높이와 거리의 비율과 같습니다.
7. 높이와 거리를 계산하는 데 사용되는 삼각형 유형은 무엇입니까?
직각 삼각형은 높이와 거리를 계산하는 데 사용됩니다.
8. 앙각 예는 무엇입니까?
